☛ Triangle rectangle ou pas ?

Énoncé

1. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}\) = 5 cm, \(\text{AC}\) = 7 cm et \(\text{BC}\) = 12 cm. Ce triangle \(\text{ABC}\) est-il rectangle ?

2. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}\) = 25 cm, \(\text{AC}\) = 9 cm et \(\text{BC}\) = 12 cm. Ce triangle \(\text{ABC}\) est-il rectangle ?

3. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}\) = 24 cm, \(\text{AC}\) = 3 dm et \(\text{BC}\)= 18 cm. Ce triangle \(\text{ABC}\) est-il rectangle ?

4. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}\) =\(\sqrt{5}\) cm, \(\text{AC}\) = \(\sqrt{3}\) cm et \(\text{BC}\) = 2 cm. Ce triangle \(\text{ABC}\) est-il rectangle ?

5. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}\) = 15 cm, \(\text{AC}\) = 9 cm et \(\text{BC}\) = 12 cm. Ce triangle \(\text{ABC}\) est-il rectangle ?

6. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que \(\text{AB}\) = 5 cm, `\text{AC}`= 5 cm et \(\text{BC}\) = 5 cm. Ce triangle \(\text{ABC}\) est-il rectangle ?

7. Soit un triangle \(\text{ABC}\) tel que   \(\text{AB}\) =\(\sqrt{8}\) cm, \(\text{AC}\) = \(\sqrt{3}\) cm et \(\text{BC}\) = \(\sqrt{5}\) cm. Ce triangle `\text{ABC` est-il rectangle ?

Solution

1. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB }\)= 5 cm, \(\text{AC}\) = 7 cm et \(\text{BC}\) = 12 cm. 
On a \(\text{BC}=\text{AB}+\text{AC}\). On en déduit que les points \(\text{A, B et C }\)sont alignés. Le triangle \(\text{ABC}\) est aplati, il n'est donc pas rectangle.

2. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB}\) = 25 cm, \(\text{AC}\) = 9 cm et \(\text{BC }\)= 12 cm.
On constate que \(\text{AB}>\text{AC}+\text{BC}\) donc l'inégalité triangulaire n'est pas respectée. Le triangle \(\text{ABC}\) n'est pas constructible.

3. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB}\) = 24 cm, \(\text{AC}\) = 3 dm (soit 30 cm) et \(\text{BC}\) = 18 cm. On peut donc calculer :
`\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900`
\(\text{AC}^2 = 30^2 = 900\)
On constate que , donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en .

4. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB}\) =\(\sqrt{5}\) cm, `\text{AC` = \(\sqrt{3}\) cm et `\text{BC` = 2 cm. On peut donc calculer :
\(\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7\).
\(\text{AB}^2 = \sqrt{5}^2 = 5\).
On constate que , donc, d'après le contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

5. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB}\) = 15 cm, \(\text{AC}\) = 9 cm et \(\text{BC}\) = 12 cm. On peut donc calculer :
\(\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\),
\(\text{AB}^2 = 15^2 = 225\).
On constate que , donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en .

6. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB}\) = 5 cm, \(\text{AC}\) = 5 cm et \(\text{BC}\) = 5 cm. On constate que le triangle \(\text{ABC}\) est un triangle équilatéral, donc le triangle \(\text{ABC}\) n'est pas rectangle.

7. Dans le triangle \(\text{ABC}\), on a \(\text{AB}\) =\(\sqrt{8}\) cm, \(\text{AC}\) = \(\sqrt{3}\) cm et `\text{BC` = \(\sqrt{5}\) cm. On peut donc calculer :
\(\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = (\sqrt5)^2 + (\sqrt3)^2 = 5 + 3 = 8\),
\(\text{AB}^2 = (\sqrt8)^2 = 8\).
On constate que \(\text{BC}^2 + \text{AC}^2=\text{AB}^2\), donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle `\text{ABC` est rectangle en `\text{C`.